פתור את 9x^2-4x-69

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 69$$

פרק לגורמים

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 9x^{2}+ax+bx-69. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-4 ab=9\left(-69\right)=-621$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -621.

$$1,-621 3,-207 9,-69 23,-27$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-621=-620 3-207=-204 9-69=-60 23-27=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -4.

$$a=-27 b=23$$

שכתב את ‎9x^{2}-4x-69 כ- ‎\left(9x^{2}-27x\right)+\left(23x-69\right).

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(23x-69\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 9x בקבוצה הראשונה ואת 23 בקבוצה השניה.

$$9x\left(x-3\right)+23\left(x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}-4x-69=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

‎-4 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-69.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+2484}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎2484.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{2500}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2500.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±50}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$x=\frac{4±50}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{4±50}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±50}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎50.

$$x=\frac{54}{18}$$

חלק את ‎54 ב- ‎18.

$$x=3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±50}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎50 מ- ‎4.

$$x=-\frac{46}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-46}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{23}{9}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎3 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{23}{9} במקום x_{2}.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{23}{9}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\left(x+\frac{23}{9}\right)$$

הוסף את ‎\frac{23}{9} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\times \frac{9x+23}{9}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎9 ב- ‎9 ו- ‎9.

$$9x^{2}-4x-69=\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

הערך

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$