פתור את 9x^2-4x-2=0

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 2 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}\approx 0.743379529$$

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}\approx -0.298935084$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -4 במקום b, וב- -2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

‎-4 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎72.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 88.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{18}$$

חלק את ‎4+2\sqrt{22} ב- ‎18.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{22} מ- ‎4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{18}$$

חלק את ‎4-2\sqrt{22} ב- ‎18.

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}-4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

החסרת -2 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}-4x=-\left(-2\right)$$

החסר ‎-2 מ- ‎0.

$$9x^{2}-4x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}-4x}{9}=\frac{2}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x=\frac{2}{9}$$

חלק את ‎-\frac{4}{9}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{2}{9}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{2}{9} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{2}{9} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{2}{9}+\frac{4}{81}$$

הוסף את ‎\frac{2}{9} ל- ‎\frac{4}{81} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{22}{81}$$

פרק x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{22}{81}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{81}}$$

פשט.

$$x-\frac{2}{9}=\frac{\sqrt{22}}{9} x-\frac{2}{9}=-\frac{\sqrt{22}}{9}$$

הוסף ‎\frac{2}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$