פתור את 9x^2-155x-500

$$9 x ^ { 2 } - 155 x - 500$$

פרק לגורמים

$$\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 9x^{2}+ax+bx-500. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-155 ab=9\left(-500\right)=-4500$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -155.

$$a=-180 b=25$$

שכתב את ‎9x^{2}-155x-500 כ- ‎\left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right).

$$\left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 9x בקבוצה הראשונה ואת 25 בקבוצה השניה.

$$9x\left(x-20\right)+25\left(x-20\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-20 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{\left(-155\right)^{2}-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

‎-155 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-36\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-500.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025+18000}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎24025 ל- ‎18000.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{42025}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 42025.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±205}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-155 הוא ‎155.

$$x=\frac{155±205}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{155±205}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{155±205}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎155 ל- ‎205.

$$x=\frac{360}{18}$$

חלק את ‎360 ב- ‎18.

$$x=20$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{155±205}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎205 מ- ‎155.

$$x=-\frac{50}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-50}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{25}{9}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎20 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{25}{9} במקום x_{2}.

$$9x^{2}-155x-500=9\left(x-20\right)\left(x-\left(-\frac{25}{9}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$9x^{2}-155x-500=9\left(x-20\right)\left(x+\frac{25}{9}\right)$$

הוסף את ‎\frac{25}{9} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9x^{2}-155x-500=9\left(x-20\right)\times \frac{9x+25}{9}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎9 ב- ‎9 ו- ‎9.

$$9x^{2}-155x-500=\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$

הערך

$$\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$