פתור את 9x^2-14x-32=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 32 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{337} + 7}{9} \approx 2.817506639$$

$$x=\frac{7-\sqrt{337}}{9}\approx -1.261951083$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}-14x-32=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -14 במקום b, וב- -32 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-32\right)}}{2\times 9}$$

‎-14 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-32\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-32\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-32.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+1152}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎1152.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{1348}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1348.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{337}}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{337}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{14±2\sqrt{337}}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±2\sqrt{337}}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎14 ל- ‎2\sqrt{337}.

$$x=\frac{2\sqrt{337}+14}{18}$$

חלק את ‎14+2\sqrt{337} ב- ‎18.

$$x=\frac{\sqrt{337}+7}{9}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±2\sqrt{337}}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{337} מ- ‎14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{337}}{18}$$

חלק את ‎14-2\sqrt{337} ב- ‎18.

$$x=\frac{7-\sqrt{337}}{9}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{337}+7}{9} x=\frac{7-\sqrt{337}}{9}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-14x-32=0$$

הוסף ‎32 לשני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}-14x-32-\left(-32\right)=-\left(-32\right)$$

החסרת -32 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}-14x=-\left(-32\right)$$

החסר ‎-32 מ- ‎0.

$$9x^{2}-14x=32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{32}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{32}{9}$$

חלק את ‎-\frac{14}{9}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{9}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{9} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{32}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{9} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{32}{9}+\frac{49}{81}$$

הוסף את ‎\frac{32}{9} ל- ‎\frac{49}{81} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{337}{81}$$

פרק x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{337}{81}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{337}{81}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{\sqrt{337}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{\sqrt{337}}{9}$$

הוסף ‎\frac{7}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{337}+7}{9} x=\frac{7-\sqrt{337}}{9}$$