פתור את 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2.247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0.692084062$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -14 במקום b, וב- -14 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

‎-14 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 700.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎14 ל- ‎10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

חלק את ‎14+10\sqrt{7} ב- ‎18.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10\sqrt{7} מ- ‎14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

חלק את ‎14-10\sqrt{7} ב- ‎18.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

הוסף ‎14 לשני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

החסרת -14 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

החסר ‎-14 מ- ‎0.

$$9x^{2}-14x=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

חלק את ‎-\frac{14}{9}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{9}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{9} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{9} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

הוסף את ‎\frac{14}{9} ל- ‎\frac{49}{81} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

הוסף ‎\frac{7}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$