פתור את 9x^2-12x-4=0

$$9 x ^ { 2 } - 12 x - 4 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.609475708$$

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}\approx -0.276142375$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -12 במקום b, וב- -4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

‎-12 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+144}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{288}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎12 ל- ‎12\sqrt{2}.

$$x=\frac{12\sqrt{2}+12}{18}$$

חלק את ‎12+12\sqrt{2} ב- ‎18.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12\sqrt{2} מ- ‎12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{2}}{18}$$

חלק את ‎12-12\sqrt{2} ב- ‎18.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}-12x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

החסרת -4 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}-12x=-\left(-4\right)$$

החסר ‎-4 מ- ‎0.

$$9x^{2}-12x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=\frac{4}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=\frac{4}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{9}$$

חלק את ‎-\frac{4}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{2}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{2}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4+4}{9}$$

הוסף את ‎\frac{4}{9} ל- ‎\frac{4}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$$

פרק x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{9}}$$

פשט.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

הוסף ‎\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$