פתור את 9x^2+6x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.942809042i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- 6 במקום b, וב- 9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

‎6 בריבוע.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-324.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של -288.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-6 ל- ‎12i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

חלק את ‎-6+12i\sqrt{2} ב- ‎18.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12i\sqrt{2} מ- ‎-6.

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

חלק את ‎-6-12i\sqrt{2} ב- ‎18.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

החסרת 9 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}+6x=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

חלק את ‎-9 ב- ‎9.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

חלק את ‎\frac{2}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

פרק את ‎x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

החסר ‎\frac{1}{3} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$