פתור את 9x^2+42x+49=0

$$9 x ^ { 2 } + 42 x + 49 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 9x^{2}+ax+bx+49. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=42 ab=9\times 49=441$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 441.

$$1,441 3,147 7,63 9,49 21,21$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+441=442 3+147=150 7+63=70 9+49=58 21+21=42$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 42.

$$a=21 b=21$$

שכתב את ‎9x^{2}+42x+49 כ- ‎\left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right).

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$3x\left(3x+7\right)+7\left(3x+7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x+7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(3x+7\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את 3x+7=0.

$$x=-\frac{7}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- 42 במקום b, וב- 49 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

‎42 בריבוע.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎49.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎1764 ל- ‎-1764.

$$x=\frac{-42±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=-\frac{42}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=-\frac{42}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-42}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

החסר ‎49 משני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}+42x+49-49=-49$$

החסרת 49 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}+42x=-49$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}+42x}{9}=-\frac{49}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\frac{42}{9}x=-\frac{49}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{42}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=-\frac{49}{9}$$

חלק את ‎\frac{14}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{49}{9}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{-49+49}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{49}{9} ל- ‎\frac{49}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=0$$

פרק x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{3}=0 x+\frac{7}{3}=0$$

החסר ‎\frac{7}{3} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{7}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$x=-\frac{7}{3}$$