פתור את 9x^2+39x+42=

$$9 x ^ { 2 } + 39 x + 42 =$$

פרק לגורמים

$$3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 3.

$$3\left(3x^{2}+13x+14\right)$$

שקול את 3x^{2}+13x+14. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3x^{2}+ax+bx+14. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=13 ab=3\times 14=42$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 42.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 13.

$$a=6 b=7$$

שכתב את ‎3x^{2}+13x+14 כ- ‎\left(3x^{2}+6x\right)+\left(7x+14\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(7x+14\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$3x\left(x+2\right)+7\left(x+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}+39x+42=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 9\times 42}}{2\times 9}$$

‎39 בריבוע.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 9\times 42}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-36\times 42}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎42.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-1512}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎1521 ל- ‎-1512.

$$x=\frac{-39±\sqrt{9}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$x=\frac{-39±3}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{-39±3}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-39±3}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-39 ל- ‎3.

$$x=-\frac{36}{18}$$

חלק את ‎-36 ב- ‎18.

$$x=-2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-39±3}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎-39.

$$x=-\frac{42}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-42}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-2 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{7}{3} במקום x_{2}.

$$9x^{2}+39x+42=9\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$9x^{2}+39x+42=9\left(x+2\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{7}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9x^{2}+39x+42=9\left(x+2\right)\times \frac{3x+7}{3}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎9 ו- ‎3.

$$9x^{2}+39x+42=3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

הערך

$$3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$