פתור את 9x^2+3x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}\approx -0.166666667+0.986013297i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}\approx -0.166666667-0.986013297i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- 9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

‎3 בריבוע.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36\times 9}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-324}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-324.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-315}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של -315.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎3i\sqrt{35}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{35}i}{18}$$

חלק את ‎-3+3i\sqrt{35} ב- ‎18.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3i\sqrt{35} מ- ‎-3.

$$x=\frac{-3\sqrt{35}i-3}{18}$$

חלק את ‎-3-3i\sqrt{35} ב- ‎18.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}+3x+9-9=-9$$

החסרת 9 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}+3x=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}+3x}{9}=-\frac{9}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\frac{3}{9}x=-\frac{9}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{3}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{9}{9}$$

חלק את ‎-9 ב- ‎9.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-1$$

חלק את ‎\frac{1}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-1+\frac{1}{36}$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{1}{36}.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{35}{36}$$

פרק x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{35}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{36}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{35}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{35}i}{6}$$

החסר ‎\frac{1}{6} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$