פתור את 9x^2+21x-8=0

$$9 x ^ { 2 } + 21 x - 8 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 9x^{2}+ax+bx-8. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=21 ab=9\left(-8\right)=-72$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 21.

$$a=-3 b=24$$

שכתב את ‎9x^{2}+21x-8 כ- ‎\left(9x^{2}-3x\right)+\left(24x-8\right).

$$\left(9x^{2}-3x\right)+\left(24x-8\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 8 בקבוצה השניה.

$$3x\left(3x-1\right)+8\left(3x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-1\right)\left(3x+8\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-1=0 ו- 3x+8=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{8}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}+21x-8=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- 21 במקום b, וב- -8 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

‎21 בריבוע.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-8.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+288}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎441 ל- ‎288.

$$x=\frac{-21±\sqrt{729}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 729.

$$x=\frac{-21±27}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{-21±27}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-21±27}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-21 ל- ‎27.

$$x=\frac{6}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-21±27}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎27 מ- ‎-21.

$$x=-\frac{48}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-48}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{8}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{8}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+21x-8=0$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}+21x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

החסרת -8 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}+21x=-\left(-8\right)$$

החסר ‎-8 מ- ‎0.

$$9x^{2}+21x=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}+21x}{9}=\frac{8}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\frac{21}{9}x=\frac{8}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{21}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=\frac{8}{9}$$

חלק את ‎\frac{7}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{8}{9}+\frac{49}{36}$$

הוסף את ‎\frac{8}{9} ל- ‎\frac{49}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{9}{4}$$

פרק x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{6}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{6}=-\frac{3}{2}$$

החסר ‎\frac{7}{6} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{8}{3}$$