פתור את 9x^2+19x-407=0

$$9 x ^ { 2 } + 19 x - 407 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{15013} - 19}{18} \approx 5.75153044$$

$$x=\frac{-\sqrt{15013}-19}{18}\approx -7.862641551$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}+19x-407=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- 19 במקום b, וב- -407 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 9\left(-407\right)}}{2\times 9}$$

‎19 בריבוע.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 9\left(-407\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-36\left(-407\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-407.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+14652}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎361 ל- ‎14652.

$$x=\frac{-19±\sqrt{15013}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{-19±\sqrt{15013}}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-19±\sqrt{15013}}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-19 ל- ‎\sqrt{15013}.

$$x=\frac{\sqrt{15013}-19}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-19±\sqrt{15013}}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{15013} מ- ‎-19.

$$x=\frac{-\sqrt{15013}-19}{18}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{15013}-19}{18} x=\frac{-\sqrt{15013}-19}{18}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+19x-407=0$$

הוסף ‎407 לשני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}+19x-407-\left(-407\right)=-\left(-407\right)$$

החסרת -407 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}+19x=-\left(-407\right)$$

החסר ‎-407 מ- ‎0.

$$9x^{2}+19x=407$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}+19x}{9}=\frac{407}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\frac{19}{9}x=\frac{407}{9}$$

חלק את ‎\frac{19}{9}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{19}{18}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{19}{18} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{19}{9}x+\left(\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{407}{9}+\left(\frac{19}{18}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{19}{18} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{407}{9}+\frac{361}{324}$$

הוסף את ‎\frac{407}{9} ל- ‎\frac{361}{324} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{15013}{324}$$

פרק x^{2}+\frac{19}{9}x+\frac{361}{324} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{15013}{324}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15013}{324}}$$

פשט.

$$x+\frac{19}{18}=\frac{\sqrt{15013}}{18} x+\frac{19}{18}=-\frac{\sqrt{15013}}{18}$$

החסר ‎\frac{19}{18} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{15013}-19}{18} x=\frac{-\sqrt{15013}-19}{18}$$