פתור את 9x^2+18x+9=16

$$9 x ^ { 2 } + 18 x + 9 = 16$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎16 משני האגפים.

$$9x^{2}+18x+9-16=0$$

החסר את 16 מ- 9 כדי לקבל -7.

$$9x^{2}+18x-7=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 9x^{2}+ax+bx-7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=18 ab=9\left(-7\right)=-63$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 18.

$$a=-3 b=21$$

שכתב את ‎9x^{2}+18x-7 כ- ‎\left(9x^{2}-3x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(9x^{2}-3x\right)+\left(21x-7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$3x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-1\right)\left(3x+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-1=0 ו- 3x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}+18x+9=16$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}+18x+9-16=16-16$$

החסרת 16 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}+18x+9-16=0$$

החסר ‎16 מ- ‎9.

$$9x^{2}+18x-7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- 18 במקום b, וב- -7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 9\left(-7\right)}}{2\times 9}$$

‎18 בריבוע.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 9\left(-7\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-36\left(-7\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-7.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+252}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎324 ל- ‎252.

$$x=\frac{-18±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 576.

$$x=\frac{-18±24}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{-18±24}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-18±24}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-18 ל- ‎24.

$$x=\frac{6}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-18±24}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎24 מ- ‎-18.

$$x=-\frac{42}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-42}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+18x+9=16$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}+18x+9-9=16-9$$

החסרת 9 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}+18x=16-9$$

החסר ‎9 מ- ‎16.

$$9x^{2}+18x=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}+18x}{9}=\frac{7}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\frac{18}{9}x=\frac{7}{9}$$

חלק את ‎18 ב- ‎9.

$$x^{2}+2x=\frac{7}{9}$$

חלק את ‎2, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎1. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 1 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{7}{9}+1^{2}$$

‎1 בריבוע.

$$x^{2}+2x+1=\frac{7}{9}+1$$

הוסף את ‎\frac{7}{9} ל- ‎1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{16}{9}$$

פרק x^{2}+2x+1 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

פשט.

$$x+1=\frac{4}{3} x+1=-\frac{4}{3}$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{3}$$