פתור את 9t^2+6t+1=0

$$9 t ^ { 2 } + 6 t + 1 = 0$$

פתור עבור t

$$t=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 9t^{2}+at+bt+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 9.

$$1,9 3,3$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+9=10 3+3=6$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 6.

$$a=3 b=3$$

שכתב את ‎9t^{2}+6t+1 כ- ‎\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right).

$$\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3t ב- 9t^{2}+3t.

$$3t\left(3t+1\right)+3t+1$$

הוצא את האיבר המשותף 3t+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3t+1\right)\left(3t+1\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(3t+1\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את 3t+1=0.

$$t=-\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- 6 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

‎6 בריבוע.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-36.

$$t=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$t=-\frac{6}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$t=-\frac{6}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$t=-\frac{1}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$9t^{2}+6t+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$9t^{2}+6t=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9t^{2}+6t}{9}=-\frac{1}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$t^{2}+\frac{6}{9}t=-\frac{1}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t=-\frac{1}{9}$$

חלק את ‎\frac{2}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{9} ל- ‎\frac{1}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=0$$

פרק את ‎t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$t+\frac{1}{3}=0 t+\frac{1}{3}=0$$

החסר ‎\frac{1}{3} משני אגפי המשוואה.

$$t=-\frac{1}{3} t=-\frac{1}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$t=-\frac{1}{3}$$