פתור את 9q^2-20q+4=0

$$9 q ^ { 2 } - 20 q + 4 = 0$$

פתור עבור q

$$q=\frac{2}{9}\approx 0.222222222$$

$$q=2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 9q^{2}+aq+bq+4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-20 ab=9\times 4=36$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -20.

$$a=-18 b=-2$$

שכתב את ‎9q^{2}-20q+4 כ- ‎\left(9q^{2}-18q\right)+\left(-2q+4\right).

$$\left(9q^{2}-18q\right)+\left(-2q+4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 9q בקבוצה הראשונה ואת -2 בקבוצה השניה.

$$9q\left(q-2\right)-2\left(q-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף q-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(q-2\right)\left(9q-2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את q-2=0 ו- 9q-2=0.

$$q=2 q=\frac{2}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9q^{2}-20q+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -20 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

‎-20 בריבוע.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-36\times 4}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎4.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-144}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎400 ל- ‎-144.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{256}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 256.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±16}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-20 הוא ‎20.

$$q=\frac{20±16}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$q=\frac{20±16}{18}$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{20±16}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎20 ל- ‎16.

$$q=\frac{36}{18}$$

חלק את ‎36 ב- ‎18.

$$q=2$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{20±16}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎16 מ- ‎20.

$$q=\frac{4}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{4}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$q=\frac{2}{9}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$q=2 q=\frac{2}{9}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9q^{2}-20q+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$9q^{2}-20q+4-4=-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$9q^{2}-20q=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9q^{2}-20q}{9}=-\frac{4}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$q^{2}-\frac{20}{9}q=-\frac{4}{9}$$

חלק את ‎-\frac{20}{9}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{10}{9}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{10}{9} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$q^{2}-\frac{20}{9}q+\left(-\frac{10}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{10}{9}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{10}{9} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$q^{2}-\frac{20}{9}q+\frac{100}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{100}{81}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{9} ל- ‎\frac{100}{81} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$q^{2}-\frac{20}{9}q+\frac{100}{81}=\frac{64}{81}$$

פרק q^{2}-\frac{20}{9}q+\frac{100}{81} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{10}{9}\right)^{2}=\frac{64}{81}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(q-\frac{10}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{81}}$$

פשט.

$$q-\frac{10}{9}=\frac{8}{9} q-\frac{10}{9}=-\frac{8}{9}$$

הוסף ‎\frac{10}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$q=2 q=\frac{2}{9}$$