פתור את 9n^2-3n-8=10

$$9 n ^ { 2 } - 3 n - 8 = 10$$

פתור עבור n

$$n = \frac{\sqrt{73} + 1}{6} \approx 1.590667291$$

$$n=\frac{1-\sqrt{73}}{6}\approx -1.257333958$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9n^{2}-3n-8=10$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$9n^{2}-3n-8-10=10-10$$

החסרת 10 מעצמו נותנת 0.

$$9n^{2}-3n-8-10=0$$

החסר ‎10 מ- ‎-8.

$$9n^{2}-3n-18=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -3 במקום b, וב- -18 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 9\left(-18\right)}}{2\times 9}$$

‎-3 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 9\left(-18\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-36\left(-18\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-18.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+648}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎648.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{657}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 657.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{73}}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$n=\frac{3±3\sqrt{73}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$n=\frac{3±3\sqrt{73}}{18}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{3±3\sqrt{73}}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎3\sqrt{73}.

$$n=\frac{3\sqrt{73}+3}{18}$$

חלק את ‎3+3\sqrt{73} ב- ‎18.

$$n=\frac{\sqrt{73}+1}{6}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{3±3\sqrt{73}}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3\sqrt{73} מ- ‎3.

$$n=\frac{3-3\sqrt{73}}{18}$$

חלק את ‎3-3\sqrt{73} ב- ‎18.

$$n=\frac{1-\sqrt{73}}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=\frac{\sqrt{73}+1}{6} n=\frac{1-\sqrt{73}}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9n^{2}-3n-8=10$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$9n^{2}-3n-8-\left(-8\right)=10-\left(-8\right)$$

החסרת -8 מעצמו נותנת 0.

$$9n^{2}-3n=10-\left(-8\right)$$

החסר ‎-8 מ- ‎10.

$$9n^{2}-3n=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9n^{2}-3n}{9}=\frac{18}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$n^{2}+\left(-\frac{3}{9}\right)n=\frac{18}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-3}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n=\frac{18}{9}$$

חלק את ‎18 ב- ‎9.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n=2$$

חלק את ‎-\frac{1}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}=2+\frac{1}{36}$$

הוסף את ‎2 ל- ‎\frac{1}{36}.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}=\frac{73}{36}$$

פרק n^{2}-\frac{1}{3}n+\frac{1}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{73}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{36}}$$

פשט.

$$n-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{73}}{6} n-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{73}}{6}$$

הוסף ‎\frac{1}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$n=\frac{\sqrt{73}+1}{6} n=\frac{1-\sqrt{73}}{6}$$