פתור את 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

פתור עבור n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎3n^{2} משני האגפים.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

כנס את ‎9n^{2} ו- ‎-3n^{2} כדי לקבל ‎6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 6n^{2}+an+bn+20. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -23.

$$a=-15 b=-8$$

שכתב את ‎6n^{2}-23n+20 כ- ‎\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3n בקבוצה הראשונה ואת -4 בקבוצה השניה.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2n-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2n-5=0 ו- 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

החסר ‎3n^{2} משני האגפים.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

כנס את ‎9n^{2} ו- ‎-3n^{2} כדי לקבל ‎6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 6 במקום a, ב- -23 במקום b, וב- 20 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

‎-23 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎529 ל- ‎-480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

ההופכי של ‎-23 הוא ‎23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{23±7}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎23 ל- ‎7.

$$n=\frac{30}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{23±7}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎7 מ- ‎23.

$$n=\frac{16}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{16}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

החסר ‎3n^{2} משני האגפים.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

כנס את ‎9n^{2} ו- ‎-3n^{2} כדי לקבל ‎6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

החסר ‎20 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$6n^{2}-23n=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

חילוק ב- ‎6 מבטל את ההכפלה ב- ‎6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

חלק את ‎-\frac{23}{6}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{23}{12}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{23}{12} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{23}{12} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

הוסף את ‎-\frac{10}{3} ל- ‎\frac{529}{144} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

פרק את ‎n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

פשט.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

הוסף ‎\frac{23}{12} לשני אגפי המשוואה.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$