פתור את 9n^2+36n+20

$$9 n ^ { 2 } + 36 n + 20$$

פרק לגורמים

$$\left(3n+2\right)\left(3n+10\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 9n^{2}+an+bn+20. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=36 ab=9\times 20=180$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 180.

$$1,180 2,90 3,60 4,45 5,36 6,30 9,20 10,18 12,15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+180=181 2+90=92 3+60=63 4+45=49 5+36=41 6+30=36 9+20=29 10+18=28 12+15=27$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 36.

$$a=6 b=30$$

שכתב את ‎9n^{2}+36n+20 כ- ‎\left(9n^{2}+6n\right)+\left(30n+20\right).

$$\left(9n^{2}+6n\right)+\left(30n+20\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3n בקבוצה הראשונה ואת 10 בקבוצה השניה.

$$3n\left(3n+2\right)+10\left(3n+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3n+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3n+2\right)\left(3n+10\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$9n^{2}+36n+20=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 9\times 20}}{2\times 9}$$

‎36 בריבוע.

$$n=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 9\times 20}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$n=\frac{-36±\sqrt{1296-36\times 20}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎20.

$$n=\frac{-36±\sqrt{1296-720}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎1296 ל- ‎-720.

$$n=\frac{-36±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 576.

$$n=\frac{-36±24}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$n=\frac{-36±24}{18}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-36±24}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-36 ל- ‎24.

$$n=-\frac{12}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$n=-\frac{2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-36±24}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎24 מ- ‎-36.

$$n=-\frac{60}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-60}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$n=-\frac{10}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{2}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{10}{3} במקום x_{2}.

$$9n^{2}+36n+20=9\left(n-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$9n^{2}+36n+20=9\left(n+\frac{2}{3}\right)\left(n+\frac{10}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎n על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9n^{2}+36n+20=9\times \frac{3n+2}{3}\left(n+\frac{10}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{10}{3} ל- ‎n על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9n^{2}+36n+20=9\times \frac{3n+2}{3}\times \frac{3n+10}{3}$$

הכפל את ‎\frac{3n+2}{3} ב- ‎\frac{3n+10}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9n^{2}+36n+20=9\times \frac{\left(3n+2\right)\left(3n+10\right)}{3\times 3}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎3.

$$9n^{2}+36n+20=9\times \frac{\left(3n+2\right)\left(3n+10\right)}{9}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎9 ב- ‎9 ו- ‎9.

$$9n^{2}+36n+20=\left(3n+2\right)\left(3n+10\right)$$

הערך

$$\left(3n+2\right)\left(3n+10\right)$$