פתור את 9c^2+48c+64

$$9 c ^ { 2 } + 48 c + 64$$

פרק לגורמים

$$\left(3c+8\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 9c^{2}+ac+bc+64. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=48 ab=9\times 64=576$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 576.

$$1,576 2,288 3,192 4,144 6,96 8,72 9,64 12,48 16,36 18,32 24,24$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+576=577 2+288=290 3+192=195 4+144=148 6+96=102 8+72=80 9+64=73 12+48=60 16+36=52 18+32=50 24+24=48$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 48.

$$a=24 b=24$$

שכתב את ‎9c^{2}+48c+64 כ- ‎\left(9c^{2}+24c\right)+\left(24c+64\right).

$$\left(9c^{2}+24c\right)+\left(24c+64\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3c בקבוצה הראשונה ואת 8 בקבוצה השניה.

$$3c\left(3c+8\right)+8\left(3c+8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3c+8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3c+8\right)\left(3c+8\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(3c+8\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(9c^{2}+48c+64)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(9,48,64)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 9c^{2}.

$$\sqrt{9c^{2}}=3c$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 64.

$$\sqrt{64}=8$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(3c+8\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$9c^{2}+48c+64=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$c=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 9\times 64}}{2\times 9}$$

‎48 בריבוע.

$$c=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 9\times 64}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$c=\frac{-48±\sqrt{2304-36\times 64}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎64.

$$c=\frac{-48±\sqrt{2304-2304}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎2304 ל- ‎-2304.

$$c=\frac{-48±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$c=\frac{-48±0}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$c=\frac{-48±0}{18}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{8}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{8}{3} במקום x_{2}.

$$9c^{2}+48c+64=9\left(c-\left(-\frac{8}{3}\right)\right)\left(c-\left(-\frac{8}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$9c^{2}+48c+64=9\left(c+\frac{8}{3}\right)\left(c+\frac{8}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{8}{3} ל- ‎c על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9c^{2}+48c+64=9\times \frac{3c+8}{3}\left(c+\frac{8}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{8}{3} ל- ‎c על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9c^{2}+48c+64=9\times \frac{3c+8}{3}\times \frac{3c+8}{3}$$

הכפל את ‎\frac{3c+8}{3} ב- ‎\frac{3c+8}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9c^{2}+48c+64=9\times \frac{\left(3c+8\right)\left(3c+8\right)}{3\times 3}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎3.

$$9c^{2}+48c+64=9\times \frac{\left(3c+8\right)\left(3c+8\right)}{9}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎9 ב- ‎9 ו- ‎9.

$$9c^{2}+48c+64=\left(3c+8\right)\left(3c+8\right)$$

הערך

$$\left(3c+8\right)^{2}$$