פתור את 9a^2-10a+4=0

$$9 a ^ { 2 } - 10 a + 4 = 0$$

פתור עבור a

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}\approx 0.555555556+0.368513866i$$

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}\approx 0.555555556-0.368513866i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -10 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

‎-10 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36\times 4}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-144}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-144.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-44}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של -44.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-10 הוא ‎10.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎10 ל- ‎2i\sqrt{11}.

$$a=\frac{10+2\sqrt{11}i}{18}$$

חלק את ‎10+2i\sqrt{11} ב- ‎18.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{11} מ- ‎10.

$$a=\frac{-2\sqrt{11}i+10}{18}$$

חלק את ‎10-2i\sqrt{11} ב- ‎18.

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$9a^{2}-10a+4-4=-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$9a^{2}-10a=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9a^{2}-10a}{9}=-\frac{4}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a=-\frac{4}{9}$$

חלק את ‎-\frac{10}{9}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{9}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{9} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{9} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{81}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{9} ל- ‎\frac{25}{81} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{11}{81}$$

פרק a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{11}{81}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{81}}$$

פשט.

$$a-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{11}i}{9} a-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{11}i}{9}$$

הוסף ‎\frac{5}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$