פתור את 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 9x^{2}+ax+bx+25. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -30.

$$a=-15 b=-15$$

שכתב את ‎9x^{2}-30x+25 כ- ‎\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת -5 בקבוצה השניה.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -30 במקום b, וב- 25 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

‎-30 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎900 ל- ‎-900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-30 הוא ‎30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{30}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

החסר ‎25 משני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

החסרת 25 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-30}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

חלק את ‎-\frac{10}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{25}{9} ל- ‎\frac{25}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

הוסף ‎\frac{5}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$x=\frac{5}{3}$$