פתור את 9x^2-24x+16=0

$$9 { x }^{ 2 } -24x+16=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 9x^{2}+ax+bx+16. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-24 ab=9\times 16=144$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -24.

$$a=-12 b=-12$$

שכתב את ‎9x^{2}-24x+16 כ- ‎\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת -4 בקבוצה השניה.

$$3x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-4\right)\left(3x-4\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(3x-4\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את 3x-4=0.

$$x=\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -24 במקום b, וב- 16 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

‎-24 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎576 ל- ‎-576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=-\frac{-24}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-24 הוא ‎24.

$$x=\frac{24}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{24}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{24}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{4}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}-24x+16-16=-16$$

החסרת 16 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}-24x=-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=-\frac{16}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=-\frac{16}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-24}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{16}{9}$$

חלק את ‎-\frac{8}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{4}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{4}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{16}{9} ל- ‎\frac{16}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=0$$

פרק x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$x-\frac{4}{3}=0 x-\frac{4}{3}=0$$

הוסף ‎\frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{4}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$x=\frac{4}{3}$$