פתור את 9x^2-24x+16

$$9 { x }^{ 2 } -24x+16$$

פרק לגורמים

$$\left(3x-4\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 9x^{2}+ax+bx+16. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-24 ab=9\times 16=144$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -24.

$$a=-12 b=-12$$

שכתב את ‎9x^{2}-24x+16 כ- ‎\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת -4 בקבוצה השניה.

$$3x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-4\right)\left(3x-4\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(3x-4\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(9x^{2}-24x+16)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(9,-24,16)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 9x^{2}.

$$\sqrt{9x^{2}}=3x$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 16.

$$\sqrt{16}=4$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(3x-4\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

‎-24 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎576 ל- ‎-576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±0}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-24 הוא ‎24.

$$x=\frac{24±0}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{24±0}{18}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום x_{1} וב- ‎\frac{4}{3} במקום x_{2}.

$$9x^{2}-24x+16=9\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)$$

החסר את x מ- \frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9x^{2}-24x+16=9\times \frac{3x-4}{3}\left(x-\frac{4}{3}\right)$$

החסר את x מ- \frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9x^{2}-24x+16=9\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{3x-4}{3}$$

הכפל את ‎\frac{3x-4}{3} ב- ‎\frac{3x-4}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9x^{2}-24x+16=9\times \frac{\left(3x-4\right)\left(3x-4\right)}{3\times 3}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎3.

$$9x^{2}-24x+16=9\times \frac{\left(3x-4\right)\left(3x-4\right)}{9}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎9 ב- ‎9 ו- ‎9.

$$9x^{2}-24x+16=\left(3x-4\right)\left(3x-4\right)$$

הערך

$$\left(3x-4\right)^{2}$$