פתור את 9x^2-12x+10=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+10=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}\approx 0.666666667+0.816496581i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}\approx 0.666666667-0.816496581i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -12 במקום b, וב- 10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

‎-12 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 10}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎10.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-360}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎-360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-216}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של -216.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎12 ל- ‎6i\sqrt{6}.

$$x=\frac{12+6\sqrt{6}i}{18}$$

חלק את ‎12+6i\sqrt{6} ב- ‎18.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6i\sqrt{6} מ- ‎12.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+12}{18}$$

חלק את ‎12-6i\sqrt{6} ב- ‎18.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}-12x+10-10=-10$$

החסרת 10 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}-12x=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{10}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{10}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{10}{9}$$

חלק את ‎-\frac{4}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{2}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{2}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-10+4}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{10}{9} ל- ‎\frac{4}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}$$

פרק x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{3}}$$

פשט.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{6}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{6}i}{3}$$

הוסף ‎\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$