פתור את 9x^2+14x-8=0

$$9 { x }^{ 2 } +14x-8=0$$

פתור עבור x

$$x=-2$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 9x^{2}+ax+bx-8. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=14 ab=9\left(-8\right)=-72$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 14.

$$a=-4 b=18$$

שכתב את ‎9x^{2}+14x-8 כ- ‎\left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right).

$$\left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$x\left(9x-4\right)+2\left(9x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 9x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(9x-4\right)\left(x+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 9x-4=0 ו- x+2=0.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- 14 במקום b, וב- -8 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

‎14 בריבוע.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-8.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{-14±22}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-14±22}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-14 ל- ‎22.

$$x=\frac{8}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{4}{9}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-14±22}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎22 מ- ‎-14.

$$x=-\frac{36}{18}$$

חלק את ‎-36 ב- ‎18.

$$x=-2$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}+14x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

החסרת -8 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}+14x=-\left(-8\right)$$

החסר ‎-8 מ- ‎0.

$$9x^{2}+14x=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}+14x}{9}=\frac{8}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x=\frac{8}{9}$$

חלק את ‎\frac{14}{9}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{9}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{9} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{9} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{8}{9}+\frac{49}{81}$$

הוסף את ‎\frac{8}{9} ל- ‎\frac{49}{81} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{121}{81}$$

פרק x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{121}{81}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{81}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{9}=\frac{11}{9} x+\frac{7}{9}=-\frac{11}{9}$$

החסר ‎\frac{7}{9} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$