פתור את 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305+0.184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305-0.184427778i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 84 במקום a, ב- 4\sqrt{3} במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

‎4\sqrt{3} בריבוע.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

הכפל את ‎-336 ב- ‎3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

הוסף את ‎48 ל- ‎-1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

הוצא את השורש הריבועי של -960.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-4\sqrt{3} ל- ‎8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

חלק את ‎-4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} ב- ‎168.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8i\sqrt{15} מ- ‎-4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

חלק את ‎-4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} ב- ‎168.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎84.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

חילוק ב- ‎84 מבטל את ההכפלה ב- ‎84.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

חלק את ‎4\sqrt{3} ב- ‎84.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-3}{84} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

חלק את ‎\frac{\sqrt{3}}{21}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{\sqrt{3}}{42}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{\sqrt{3}}{42} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

‎\frac{\sqrt{3}}{42} בריבוע.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{28} ל- ‎\frac{1}{588} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

פרק x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

פשט.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

החסר ‎\frac{\sqrt{3}}{42} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$