פתור את 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

פרק לגורמים

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 81x^{2}+ax+bx+100. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 180.

$$a=90 b=90$$

שכתב את ‎81x^{2}+180x+100 כ- ‎\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 9x בקבוצה הראשונה ואת 10 בקבוצה השניה.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 9x+10 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(81,180,100)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

‎180 בריבוע.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

הכפל את ‎-324 ב- ‎100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

הוסף את ‎32400 ל- ‎-32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{10}{9} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{10}{9} במקום x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

הוסף את ‎\frac{10}{9} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

הוסף את ‎\frac{10}{9} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

הכפל את ‎\frac{9x+10}{9} ב- ‎\frac{9x+10}{9} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

הכפל את ‎9 ב- ‎9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎81 ב- ‎81 ו- ‎81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

הערך

$$\left(9x+10\right)^{2}$$