פתור את 81t^2+180t-32=0

$$81 t ^ { 2 } + 180 t - 32 = 0$$

פתור עבור t

$$t=\frac{2\sqrt{33}-10}{9}\approx 0.165458366$$

$$t=\frac{-2\sqrt{33}-10}{9}\approx -2.387680588$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$81t^{2}+180t-32=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 81 במקום a, ב- 180 במקום b, וב- -32 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\left(-32\right)}}{2\times 81}$$

‎180 בריבוע.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\left(-32\right)}}{2\times 81}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎81.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400-324\left(-32\right)}}{2\times 81}$$

הכפל את ‎-324 ב- ‎-32.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400+10368}}{2\times 81}$$

הוסף את ‎32400 ל- ‎10368.

$$t=\frac{-180±\sqrt{42768}}{2\times 81}$$

הוצא את השורש הריבועי של 42768.

$$t=\frac{-180±36\sqrt{33}}{2\times 81}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎81.

$$t=\frac{-180±36\sqrt{33}}{162}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{-180±36\sqrt{33}}{162} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-180 ל- ‎36\sqrt{33}.

$$t=\frac{36\sqrt{33}-180}{162}$$

חלק את ‎-180+36\sqrt{33} ב- ‎162.

$$t=\frac{2\sqrt{33}-10}{9}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{-180±36\sqrt{33}}{162} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎36\sqrt{33} מ- ‎-180.

$$t=\frac{-36\sqrt{33}-180}{162}$$

חלק את ‎-180-36\sqrt{33} ב- ‎162.

$$t=\frac{-2\sqrt{33}-10}{9}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$t=\frac{2\sqrt{33}-10}{9} t=\frac{-2\sqrt{33}-10}{9}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$81t^{2}+180t-32=0$$

הוסף ‎32 לשני אגפי המשוואה.

$$81t^{2}+180t-32-\left(-32\right)=-\left(-32\right)$$

החסרת -32 מעצמו נותנת 0.

$$81t^{2}+180t=-\left(-32\right)$$

החסר ‎-32 מ- ‎0.

$$81t^{2}+180t=32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎81.

$$\frac{81t^{2}+180t}{81}=\frac{32}{81}$$

חילוק ב- ‎81 מבטל את ההכפלה ב- ‎81.

$$t^{2}+\frac{180}{81}t=\frac{32}{81}$$

צמצם את השבר ‎\frac{180}{81} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 9.

$$t^{2}+\frac{20}{9}t=\frac{32}{81}$$

חלק את ‎\frac{20}{9}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{10}{9}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{10}{9} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$t^{2}+\frac{20}{9}t+\left(\frac{10}{9}\right)^{2}=\frac{32}{81}+\left(\frac{10}{9}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{10}{9} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$t^{2}+\frac{20}{9}t+\frac{100}{81}=\frac{32+100}{81}$$

הוסף את ‎\frac{32}{81} ל- ‎\frac{100}{81} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$t^{2}+\frac{20}{9}t+\frac{100}{81}=\frac{44}{27}$$

פרק t^{2}+\frac{20}{9}t+\frac{100}{81} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{10}{9}\right)^{2}=\frac{44}{27}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(t+\frac{10}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{44}{27}}$$

פשט.

$$t+\frac{10}{9}=\frac{2\sqrt{33}}{9} t+\frac{10}{9}=-\frac{2\sqrt{33}}{9}$$

החסר ‎\frac{10}{9} משני אגפי המשוואה.

$$t=\frac{2\sqrt{33}-10}{9} t=\frac{-2\sqrt{33}-10}{9}$$