פתור את 81n^2+18n+1

$$81 n ^ { 2 } + 18 n + 1$$

פרק לגורמים

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 81n^{2}+an+bn+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=18 ab=81\times 1=81$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 81.

$$1,81 3,27 9,9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+81=82 3+27=30 9+9=18$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 18.

$$a=9 b=9$$

שכתב את ‎81n^{2}+18n+1 כ- ‎\left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right).

$$\left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 9n ב- 81n^{2}+9n.

$$9n\left(9n+1\right)+9n+1$$

הוצא את האיבר המשותף 9n+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(81n^{2}+18n+1)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(81,18,1)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 81n^{2}.

$$\sqrt{81n^{2}}=9n$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$81n^{2}+18n+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 81}}{2\times 81}$$

‎18 בריבוע.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 81}}{2\times 81}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎81.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-324}}{2\times 81}$$

הוסף את ‎324 ל- ‎-324.

$$n=\frac{-18±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$n=\frac{-18±0}{2\times 81}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎81.

$$n=\frac{-18±0}{162}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{1}{9} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{9} במקום x_{2}.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n+\frac{1}{9}\right)\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{9} ל- ‎n על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{9} ל- ‎n על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\times \frac{9n+1}{9}$$

הכפל את ‎\frac{9n+1}{9} ב- ‎\frac{9n+1}{9} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{9\times 9}$$

הכפל את ‎9 ב- ‎9.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{81}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎81 ב- ‎81 ו- ‎81.

$$81n^{2}+18n+1=\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

הערך

$$\left(9n+1\right)^{2}$$