פתור את 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

פרק לגורמים

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 81x^{2}+ax+bx+25. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 90.

$$a=45 b=45$$

שכתב את ‎81x^{2}+90x+25 כ- ‎\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 9x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 9x+5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(81,90,25)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

‎90 בריבוע.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

הכפל את ‎-324 ב- ‎25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

הוסף את ‎8100 ל- ‎-8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{5}{9} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{9} במקום x_{2}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{9} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{9} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

הכפל את ‎\frac{9x+5}{9} ב- ‎\frac{9x+5}{9} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

הכפל את ‎9 ב- ‎9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎81 ב- ‎81 ו- ‎81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

הערך

$$\left(9x+5\right)^{2}$$