פתור את 80x^2-100x+32=0

$$80 x ^ { 2 } - 100 x + 32 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}\approx 0.625+0.096824584i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}\approx 0.625-0.096824584i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$80x^{2}-100x+32=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 80 במקום a, ב- -100 במקום b, וב- 32 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 80\times 32}}{2\times 80}$$

‎-100 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 80\times 32}}{2\times 80}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎80.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-320\times 32}}{2\times 80}$$

הכפל את ‎-320 ב- ‎32.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-10240}}{2\times 80}$$

הוסף את ‎10000 ל- ‎-10240.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{-240}}{2\times 80}$$

הוצא את השורש הריבועי של -240.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±4\sqrt{15}i}{2\times 80}$$

ההופכי של ‎-100 הוא ‎100.

$$x=\frac{100±4\sqrt{15}i}{2\times 80}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎80.

$$x=\frac{100±4\sqrt{15}i}{160}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{100±4\sqrt{15}i}{160} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎100 ל- ‎4i\sqrt{15}.

$$x=\frac{100+4\sqrt{15}i}{160}$$

חלק את ‎100+4i\sqrt{15} ב- ‎160.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{100±4\sqrt{15}i}{160} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4i\sqrt{15} מ- ‎100.

$$x=\frac{-4\sqrt{15}i+100}{160}$$

חלק את ‎100-4i\sqrt{15} ב- ‎160.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8} x=-\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$80x^{2}-100x+32=0$$

החסר ‎32 משני אגפי המשוואה.

$$80x^{2}-100x+32-32=-32$$

החסרת 32 מעצמו נותנת 0.

$$80x^{2}-100x=-32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎80.

$$\frac{80x^{2}-100x}{80}=-\frac{32}{80}$$

חילוק ב- ‎80 מבטל את ההכפלה ב- ‎80.

$$x^{2}+\left(-\frac{100}{80}\right)x=-\frac{32}{80}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-100}{80} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 20.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{32}{80}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-32}{80} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{2}{5}$$

חלק את ‎-\frac{5}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{2}{5}+\frac{25}{64}$$

הוסף את ‎-\frac{2}{5} ל- ‎\frac{25}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{3}{320}$$

פרק x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{320}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{320}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{15}i}{40} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{15}i}{40}$$

הוסף ‎\frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8} x=-\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}$$