פתור את 8y^3-27=0

$$8 y ^ { 3 } - 27 = 0$$

פתור עבור y

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -27 ו- q מחלק את המקדם המוביל 8. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$y=\frac{3}{2}$$

לפי משפט הגורמים , y-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎8y^{3}-27 ב- ‎2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 כדי לקבל ‎4y^{2}+6y+9. פתור את המשוואה שבה התוצאה שווה ל-0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎4 ב- a, את ‎6 ב- b ואת ‎9 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

בצע את החישובים.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$y\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$y=\frac{3}{2}$$