פתור את 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1.112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0.112372436$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 8 במקום a, ב- -8 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

‎-8 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 96.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

ההופכי של ‎-8 הוא ‎8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

חלק את ‎8+4\sqrt{6} ב- ‎16.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{6} מ- ‎8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

חלק את ‎8-4\sqrt{6} ב- ‎16.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$8x^{2}-8x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

חילוק ב- ‎8 מבטל את ההכפלה ב- ‎8.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎8.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎\frac{1}{8} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

פרק x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$