פתור את 8x^2-230x+750

$$8 x ^ { 2 } - 230 x + 750$$

פרק לגורמים

$$2\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 2.

$$2\left(4x^{2}-115x+375\right)$$

שקול את 4x^{2}-115x+375. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4x^{2}+ax+bx+375. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-115 ab=4\times 375=1500$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 1500.

$$-1,-1500 -2,-750 -3,-500 -4,-375 -5,-300 -6,-250 -10,-150 -12,-125 -15,-100 -20,-75 -25,-60 -30,-50$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-1500=-1501 -2-750=-752 -3-500=-503 -4-375=-379 -5-300=-305 -6-250=-256 -10-150=-160 -12-125=-137 -15-100=-115 -20-75=-95 -25-60=-85 -30-50=-80$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -115.

$$a=-100 b=-15$$

שכתב את ‎4x^{2}-115x+375 כ- ‎\left(4x^{2}-100x\right)+\left(-15x+375\right).

$$\left(4x^{2}-100x\right)+\left(-15x+375\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת -15 בקבוצה השניה.

$$4x\left(x-25\right)-15\left(x-25\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-25 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$2\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-230x+750=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{\left(-230\right)^{2}-4\times 8\times 750}}{2\times 8}$$

‎-230 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{52900-4\times 8\times 750}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{52900-32\times 750}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎750.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{52900-24000}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎52900 ל- ‎-24000.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{28900}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 28900.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±170}{2\times 8}$$

ההופכי של ‎-230 הוא ‎230.

$$x=\frac{230±170}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$x=\frac{230±170}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{230±170}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎230 ל- ‎170.

$$x=\frac{400}{16}$$

חלק את ‎400 ב- ‎16.

$$x=25$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{230±170}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎170 מ- ‎230.

$$x=\frac{60}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{60}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{15}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎25 במקום x_{1} וב- ‎\frac{15}{4} במקום x_{2}.

$$8x^{2}-230x+750=8\left(x-25\right)\left(x-\frac{15}{4}\right)$$

החסר את x מ- \frac{15}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8x^{2}-230x+750=8\left(x-25\right)\times \frac{4x-15}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎8 ו- ‎4.

$$8x^{2}-230x+750=2\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$

הערך

$$2\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$