פתור את 8x^2-22x+12

$$8 x ^ { 2 } - 22 x + 12$$

פרק לגורמים

$$2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 2.

$$2\left(4x^{2}-11x+6\right)$$

שקול את 4x^{2}-11x+6. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4x^{2}+ax+bx+6. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-11 ab=4\times 6=24$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -11.

$$a=-8 b=-3$$

שכתב את ‎4x^{2}-11x+6 כ- ‎\left(4x^{2}-8x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(-3x+6\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$4x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x+12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 12}}{2\times 8}$$

‎-22 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 12}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 12}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎12.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-384}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎484 ל- ‎-384.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 100.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±10}{2\times 8}$$

ההופכי של ‎-22 הוא ‎22.

$$x=\frac{22±10}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$x=\frac{22±10}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{22±10}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎22 ל- ‎10.

$$x=\frac{32}{16}$$

חלק את ‎32 ב- ‎16.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{22±10}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10 מ- ‎22.

$$x=\frac{12}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{3}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎2 במקום x_{1} וב- ‎\frac{3}{4} במקום x_{2}.

$$8x^{2}-22x+12=8\left(x-2\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8x^{2}-22x+12=8\left(x-2\right)\times \frac{4x-3}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎8 ו- ‎4.

$$8x^{2}-22x+12=2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

הערך

$$2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$