פתור עבור x
x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25
x=3
גרף
שתף
הועתק ללוח
4x^{2}-7x-15=0
חלק את שני האגפים ב- 2.
a+b=-7 ab=4\left(-15\right)=-60
כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.
1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10
מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -60.
1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4
חשב את הסכום של כל צמד.
a=-12 b=5
הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.
\left(4x^{2}-12x\right)+\left(5x-15\right)
שכתב את 4x^{2}-7x-15 כ- \left(4x^{2}-12x\right)+\left(5x-15\right).
4x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)
הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.
\left(x-3\right)\left(4x+5\right)
הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.
x=3 x=-\frac{5}{4}
כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-3=0 ו- 4x+5=0.
8x^{2}-14x-30=0
ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.
x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-30\right)}}{2\times 8}
למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 8 במקום a, ב- -14 במקום b, וב- -30 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-30\right)}}{2\times 8}
-14 בריבוע.
x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-30\right)}}{2\times 8}
הכפל את -4 ב- 8.
x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+960}}{2\times 8}
הכפל את -32 ב- -30.
x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{1156}}{2\times 8}
הוסף את 196 ל- 960.
x=\frac{-\left(-14\right)±34}{2\times 8}
הוצא את השורש הריבועי של 1156.
x=\frac{14±34}{2\times 8}
ההופכי של -14 הוא 14.
x=\frac{14±34}{16}
הכפל את 2 ב- 8.
x=\frac{48}{16}
כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±34}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את 14 ל- 34.
x=3
חלק את 48 ב- 16.
x=-\frac{20}{16}
כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±34}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר 34 מ- 14.
x=-\frac{5}{4}
צמצם את השבר \frac{-20}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.
x=3 x=-\frac{5}{4}
המשוואה נפתרה כעת.
8x^{2}-14x-30=0
ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.
8x^{2}-14x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)
הוסף 30 לשני אגפי המשוואה.
8x^{2}-14x=-\left(-30\right)
החסרת -30 מעצמו נותנת 0.
8x^{2}-14x=30
החסר -30 מ- 0.
\frac{8x^{2}-14x}{8}=\frac{30}{8}
חלק את שני האגפים ב- 8.
x^{2}+\left(-\frac{14}{8}\right)x=\frac{30}{8}
חילוק ב- 8 מבטל את ההכפלה ב- 8.
x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{30}{8}
צמצם את השבר \frac{-14}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.
x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{15}{4}
צמצם את השבר \frac{30}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.
x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}
חלק את -\frac{7}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל -\frac{7}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.
x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{15}{4}+\frac{49}{64}
העלה את -\frac{7}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.
x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{289}{64}
הוסף את \frac{15}{4} ל- \frac{49}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{289}{64}
פרק x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.
\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{64}}
הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.
x-\frac{7}{8}=\frac{17}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{17}{8}
פשט.
x=3 x=-\frac{5}{4}
הוסף \frac{7}{8} לשני אגפי המשוואה.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}