פתור את 8x^2+8x+(-1)leq0

$$8 x ^ { 2 } + 8 x + ( - 1 ) \leq 0$$

פתור עבור x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}+8x-1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎8 ב- a, את ‎8 ב- b ואת ‎-1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{6}}{16}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-8±4\sqrt{6}}{16} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$8\left(x-\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\right)\leq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≤0, אחד מהערכים ‎x-\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right) ו- ‎x-\left(-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right) צריך להיות ≥0 והשני צריך להיות ≤0. התבונן במקרה שבו x-\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\geq 0 ו- x-\left(-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\geq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\leq 0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

התבונן במקרה שבו x-\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\leq 0 ו- x-\left(-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left[-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$