פתור את 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 8x^{2}+ax+bx-7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 10.

$$a=-4 b=14$$

שכתב את ‎8x^{2}+10x-7 כ- ‎\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-1=0 ו- 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 8 במקום a, ב- 10 במקום b, וב- -7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

‎10 בריבוע.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎-7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±18}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-10 ל- ‎18.

$$x=\frac{8}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±18}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎18 מ- ‎-10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-28}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

החסרת -7 מעצמו נותנת 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

החסר ‎-7 מ- ‎0.

$$8x^{2}+10x=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

חילוק ב- ‎8 מבטל את ההכפלה ב- ‎8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

חלק את ‎\frac{5}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{5}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{5}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

הוסף את ‎\frac{7}{8} ל- ‎\frac{25}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

פרק x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

פשט.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

החסר ‎\frac{5}{8} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$