פתור את 8v^2+26v+15

$$8 v ^ { 2 } + 26 v + 15$$

פרק לגורמים

$$\left(2v+5\right)\left(4v+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 8v^{2}+av+bv+15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=26 ab=8\times 15=120$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 26.

$$a=6 b=20$$

שכתב את ‎8v^{2}+26v+15 כ- ‎\left(8v^{2}+6v\right)+\left(20v+15\right).

$$\left(8v^{2}+6v\right)+\left(20v+15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2v בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2v\left(4v+3\right)+5\left(4v+3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4v+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4v+3\right)\left(2v+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$8v^{2}+26v+15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$v=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

‎26 בריבוע.

$$v=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$v=\frac{-26±\sqrt{676-32\times 15}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎15.

$$v=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎676 ל- ‎-480.

$$v=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 196.

$$v=\frac{-26±14}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$v=\frac{-26±14}{16}$$

כעת פתור את המשוואה v=\frac{-26±14}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-26 ל- ‎14.

$$v=-\frac{12}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$v=-\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה v=\frac{-26±14}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎14 מ- ‎-26.

$$v=-\frac{40}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-40}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$v=-\frac{5}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{3}{4} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$8v^{2}+26v+15=8\left(v-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$8v^{2}+26v+15=8\left(v+\frac{3}{4}\right)\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{4} ל- ‎v על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8v^{2}+26v+15=8\times \frac{4v+3}{4}\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎v על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8v^{2}+26v+15=8\times \frac{4v+3}{4}\times \frac{2v+5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{4v+3}{4} ב- ‎\frac{2v+5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8v^{2}+26v+15=8\times \frac{\left(4v+3\right)\left(2v+5\right)}{4\times 2}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎2.

$$8v^{2}+26v+15=8\times \frac{\left(4v+3\right)\left(2v+5\right)}{8}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎8 ב- ‎8 ו- ‎8.

$$8v^{2}+26v+15=\left(4v+3\right)\left(2v+5\right)$$

הערך

$$\left(2v+5\right)\left(4v+3\right)$$