פתור את 8q^2+6q-5

$$8 q ^ { 2 } + 6 q - 5$$

פרק לגורמים

$$\left(2q-1\right)\left(4q+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 8q^{2}+aq+bq-5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=6 ab=8\left(-5\right)=-40$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 6.

$$a=-4 b=10$$

שכתב את ‎8q^{2}+6q-5 כ- ‎\left(8q^{2}-4q\right)+\left(10q-5\right).

$$\left(8q^{2}-4q\right)+\left(10q-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4q בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$4q\left(2q-1\right)+5\left(2q-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2q-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2q-1\right)\left(4q+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$8q^{2}+6q-5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$q=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 8\left(-5\right)}}{2\times 8}$$

‎6 בריבוע.

$$q=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 8\left(-5\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$q=\frac{-6±\sqrt{36-32\left(-5\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎-5.

$$q=\frac{-6±\sqrt{36+160}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎160.

$$q=\frac{-6±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 196.

$$q=\frac{-6±14}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$q=\frac{-6±14}{16}$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{-6±14}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-6 ל- ‎14.

$$q=\frac{8}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$q=\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{-6±14}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎14 מ- ‎-6.

$$q=-\frac{20}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$q=-\frac{5}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{4} במקום x_{2}.

$$8q^{2}+6q-5=8\left(q-\frac{1}{2}\right)\left(q-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$8q^{2}+6q-5=8\left(q-\frac{1}{2}\right)\left(q+\frac{5}{4}\right)$$

החסר את q מ- \frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8q^{2}+6q-5=8\times \frac{2q-1}{2}\left(q+\frac{5}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{4} ל- ‎q על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8q^{2}+6q-5=8\times \frac{2q-1}{2}\times \frac{4q+5}{4}$$

הכפל את ‎\frac{2q-1}{2} ב- ‎\frac{4q+5}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8q^{2}+6q-5=8\times \frac{\left(2q-1\right)\left(4q+5\right)}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$8q^{2}+6q-5=8\times \frac{\left(2q-1\right)\left(4q+5\right)}{8}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎8 ב- ‎8 ו- ‎8.

$$8q^{2}+6q-5=\left(2q-1\right)\left(4q+5\right)$$

הערך

$$\left(2q-1\right)\left(4q+5\right)$$