פתור את 8n^2-106n-7500=0

$$8 n ^ { 2 } - 106 n - 7500 = 0$$

פתור עבור n

$$n = \frac{\sqrt{62809} + 53}{8} \approx 37.952154754$$

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}\approx -24.702154754$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 8 במקום a, ב- -106 במקום b, וב- -7500 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{\left(-106\right)^{2}-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

‎-106 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-32\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎-7500.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236+240000}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎11236 ל- ‎240000.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{251236}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 251236.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

ההופכי של ‎-106 הוא ‎106.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎106 ל- ‎2\sqrt{62809}.

$$n=\frac{2\sqrt{62809}+106}{16}$$

חלק את ‎106+2\sqrt{62809} ב- ‎16.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{62809} מ- ‎106.

$$n=\frac{106-2\sqrt{62809}}{16}$$

חלק את ‎106-2\sqrt{62809} ב- ‎16.

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

הוסף ‎7500 לשני אגפי המשוואה.

$$8n^{2}-106n-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

החסרת -7500 מעצמו נותנת 0.

$$8n^{2}-106n=-\left(-7500\right)$$

החסר ‎-7500 מ- ‎0.

$$8n^{2}-106n=7500$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$\frac{8n^{2}-106n}{8}=\frac{7500}{8}$$

חילוק ב- ‎8 מבטל את ההכפלה ב- ‎8.

$$n^{2}+\left(-\frac{106}{8}\right)n=\frac{7500}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-106}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{7500}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{7500}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{1875}{2}$$

חלק את ‎-\frac{53}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{53}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{53}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1875}{2}+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{53}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{1875}{2}+\frac{2809}{64}$$

הוסף את ‎\frac{1875}{2} ל- ‎\frac{2809}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{62809}{64}$$

פרק n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{62809}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{62809}{64}}$$

פשט.

$$n-\frac{53}{8}=\frac{\sqrt{62809}}{8} n-\frac{53}{8}=-\frac{\sqrt{62809}}{8}$$

הוסף ‎\frac{53}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$