פתור את 8j^2+20j-28

$$8 j ^ { 2 } + 20 j - 28$$

פרק לגורמים

$$4\left(j-1\right)\left(2j+7\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 4.

$$4\left(2j^{2}+5j-7\right)$$

שקול את 2j^{2}+5j-7. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2j^{2}+aj+bj-7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -14.

$$-1,14 -2,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 5.

$$a=-2 b=7$$

שכתב את ‎2j^{2}+5j-7 כ- ‎\left(2j^{2}-2j\right)+\left(7j-7\right).

$$\left(2j^{2}-2j\right)+\left(7j-7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2j בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$2j\left(j-1\right)+7\left(j-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף j-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(j-1\right)\left(2j+7\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$4\left(j-1\right)\left(2j+7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$8j^{2}+20j-28=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$j=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 8\left(-28\right)}}{2\times 8}$$

‎20 בריבוע.

$$j=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 8\left(-28\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$j=\frac{-20±\sqrt{400-32\left(-28\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎-28.

$$j=\frac{-20±\sqrt{400+896}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎400 ל- ‎896.

$$j=\frac{-20±\sqrt{1296}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1296.

$$j=\frac{-20±36}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$j=\frac{-20±36}{16}$$

כעת פתור את המשוואה j=\frac{-20±36}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-20 ל- ‎36.

$$j=\frac{16}{16}$$

חלק את ‎16 ב- ‎16.

$$j=1$$

כעת פתור את המשוואה j=\frac{-20±36}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎36 מ- ‎-20.

$$j=-\frac{56}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-56}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$j=-\frac{7}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎1 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{7}{2} במקום x_{2}.

$$8j^{2}+20j-28=8\left(j-1\right)\left(j-\left(-\frac{7}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$8j^{2}+20j-28=8\left(j-1\right)\left(j+\frac{7}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{7}{2} ל- ‎j על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8j^{2}+20j-28=8\left(j-1\right)\times \frac{2j+7}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎8 ו- ‎2.

$$8j^{2}+20j-28=4\left(j-1\right)\left(2j+7\right)$$

הערך

$$4\left(j-1\right)\left(2j+7\right)$$