פתור את 8b^2-2b-3

$$8 b ^ { 2 } - 2 b - 3$$

פרק לגורמים

$$\left(4b-3\right)\left(2b+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 8b^{2}+pb+qb-3. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-2 pq=8\left(-3\right)=-24$$

מאחר ש- pq הוא שלילי, ל- p ול- q יש סימנים הפוכים. מאחר ש- p+q הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -2.

$$p=-6 q=4$$

שכתב את ‎8b^{2}-2b-3 כ- ‎\left(8b^{2}-6b\right)+\left(4b-3\right).

$$\left(8b^{2}-6b\right)+\left(4b-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2b ב- 8b^{2}-6b.

$$2b\left(4b-3\right)+4b-3$$

הוצא את האיבר המשותף 4b-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4b-3\right)\left(2b+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$8b^{2}-2b-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$b=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

‎-2 בריבוע.

$$b=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$b=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎-3.

$$b=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+96}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎96.

$$b=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 100.

$$b=\frac{-\left(-2\right)±10}{2\times 8}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$b=\frac{2±10}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$b=\frac{2±10}{16}$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{2±10}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎10.

$$b=\frac{12}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$b=\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{2±10}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10 מ- ‎2.

$$b=-\frac{8}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-8}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$b=-\frac{1}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{4} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{2} במקום x_{2}.

$$8b^{2}-2b-3=8\left(b-\frac{3}{4}\right)\left(b-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$8b^{2}-2b-3=8\left(b-\frac{3}{4}\right)\left(b+\frac{1}{2}\right)$$

החסר את b מ- \frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8b^{2}-2b-3=8\times \frac{4b-3}{4}\left(b+\frac{1}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎b על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8b^{2}-2b-3=8\times \frac{4b-3}{4}\times \frac{2b+1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{4b-3}{4} ב- ‎\frac{2b+1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8b^{2}-2b-3=8\times \frac{\left(4b-3\right)\left(2b+1\right)}{4\times 2}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎2.

$$8b^{2}-2b-3=8\times \frac{\left(4b-3\right)\left(2b+1\right)}{8}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎8 ב- ‎8 ו- ‎8.

$$8b^{2}-2b-3=\left(4b-3\right)\left(2b+1\right)$$

הערך

$$\left(4b-3\right)\left(2b+1\right)$$