פתור את 8a^2-10a+3=0

$$8 a ^ { 2 } - 10 a + 3 = 0$$

פתור עבור a

$$a=\frac{1}{2}=0.5$$

$$a=\frac{3}{4}=0.75$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 8a^{2}+aa+ba+3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-10 ab=8\times 3=24$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -10.

$$a=-6 b=-4$$

שכתב את ‎8a^{2}-10a+3 כ- ‎\left(8a^{2}-6a\right)+\left(-4a+3\right).

$$\left(8a^{2}-6a\right)+\left(-4a+3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2a בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$2a\left(4a-3\right)-\left(4a-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4a-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4a-3\right)\left(2a-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 4a-3=0 ו- 2a-1=0.

$$a=\frac{3}{4} a=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$8a^{2}-10a+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 8 במקום a, ב- -10 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 8\times 3}}{2\times 8}$$

‎-10 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 8\times 3}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-32\times 3}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎3.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-96.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{4}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2}{2\times 8}$$

ההופכי של ‎-10 הוא ‎10.

$$a=\frac{10±2}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$a=\frac{10±2}{16}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{10±2}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎10 ל- ‎2.

$$a=\frac{12}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$a=\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{10±2}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2 מ- ‎10.

$$a=\frac{8}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$a=\frac{1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$a=\frac{3}{4} a=\frac{1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$8a^{2}-10a+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$8a^{2}-10a+3-3=-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$8a^{2}-10a=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$\frac{8a^{2}-10a}{8}=-\frac{3}{8}$$

חילוק ב- ‎8 מבטל את ההכפלה ב- ‎8.

$$a^{2}+\left(-\frac{10}{8}\right)a=-\frac{3}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{3}{8}$$

חלק את ‎-\frac{5}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{8}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{3}{8}+\frac{25}{64}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{8} ל- ‎\frac{25}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{1}{64}$$

פרק a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

פשט.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{1}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{1}{8}$$

הוסף ‎\frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$a=\frac{3}{4} a=\frac{1}{2}$$