פתור את 8x^2-7x+2=0

$$8 { x }^{ 2 } -7x+2=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16}\approx 0.4375+0.242061459i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}\approx 0.4375-0.242061459i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$8x^{2}-7x+2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 8 במקום a, ב- -7 במקום b, וב- 2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

‎-7 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-32\times 2}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-64}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎-64.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-15}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של -15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{15}i}{2\times 8}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$x=\frac{7±\sqrt{15}i}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎i\sqrt{15}.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{15} מ- ‎7.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16} x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-7x+2=0$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$8x^{2}-7x+2-2=-2$$

החסרת 2 מעצמו נותנת 0.

$$8x^{2}-7x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$\frac{8x^{2}-7x}{8}=-\frac{2}{8}$$

חילוק ב- ‎8 מבטל את ההכפלה ב- ‎8.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{2}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{1}{4}$$

חלק את ‎-\frac{7}{8}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{16}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{16} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{16} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{256}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{4} ל- ‎\frac{49}{256} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{15}{256}$$

פרק x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{15}{256}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{256}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{16}=\frac{\sqrt{15}i}{16} x-\frac{7}{16}=-\frac{\sqrt{15}i}{16}$$

הוסף ‎\frac{7}{16} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16} x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$