פתור את 8x^2-24x-24=0

$$8 { x }^{ 2 } -24x-24=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 3}{2} \approx 3.791287847$$

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}\approx -0.791287847$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$8x^{2}-24x-24=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 8 במקום a, ב- -24 במקום b, וב- -24 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

‎-24 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-32\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎-24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+768}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎576 ל- ‎768.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1344}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1344.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

ההופכי של ‎-24 הוא ‎24.

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎24 ל- ‎8\sqrt{21}.

$$x=\frac{8\sqrt{21}+24}{16}$$

חלק את ‎24+8\sqrt{21} ב- ‎16.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8\sqrt{21} מ- ‎24.

$$x=\frac{24-8\sqrt{21}}{16}$$

חלק את ‎24-8\sqrt{21} ב- ‎16.

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-24x-24=0$$

הוסף ‎24 לשני אגפי המשוואה.

$$8x^{2}-24x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

החסרת -24 מעצמו נותנת 0.

$$8x^{2}-24x=-\left(-24\right)$$

החסר ‎-24 מ- ‎0.

$$8x^{2}-24x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$\frac{8x^{2}-24x}{8}=\frac{24}{8}$$

חילוק ב- ‎8 מבטל את ההכפלה ב- ‎8.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{8}\right)x=\frac{24}{8}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎8.

$$x^{2}-3x=\frac{24}{8}$$

חלק את ‎24 ב- ‎8.

$$x^{2}-3x=3$$

חלק את ‎-3, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎3 ל- ‎\frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{21}{4}$$

פרק x^{2}-3x+\frac{9}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

הוסף ‎\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$