פתור את 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 8x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -14.

$$a=-20 b=6$$

שכתב את ‎8x^{2}-14x-15 כ- ‎\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

‎-14 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±26}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎14 ל- ‎26.

$$x=\frac{40}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{40}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±26}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎26 מ- ‎14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{4} במקום x_{2}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

החסר את x מ- \frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{4} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

הכפל את ‎\frac{2x-5}{2} ב- ‎\frac{4x+3}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎8 ב- ‎8 ו- ‎8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

הערך

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$