פתור את 7x-5/2x^2-5/2x=1000

$$7x- \frac{ 5 }{ 2 } { x }^{ 2 } - \frac{ 5 }{ 2 } x=1000$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}\approx 0.9+19.979739738i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}\approx 0.9-19.979739738i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כנס את ‎7x ו- ‎-\frac{5}{2}x כדי לקבל ‎\frac{9}{2}x.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

החסר ‎1000 משני האגפים.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}-1000=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-1000=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -\frac{5}{2} במקום a, ב- \frac{9}{2} במקום b, וב- -1000 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

העלה את ‎\frac{9}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}+10\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

הכפל את ‎10 ב- ‎-1000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-10000}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

הוסף את ‎\frac{81}{4} ל- ‎-10000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{-\frac{39919}{4}}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -\frac{39919}{4}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-\frac{9}{2} ל- ‎\frac{i\sqrt{39919}}{2}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{39919}i}{-5\times 2}$$

חלק את ‎\frac{-9+i\sqrt{39919}}{2} ב- ‎-5.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\frac{i\sqrt{39919}}{2} מ- ‎-\frac{9}{2}.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i-9}{-5\times 2}$$

חלק את ‎\frac{-9-i\sqrt{39919}}{2} ב- ‎-5.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10} x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

שלבים להשלמת הריבוע

כנס את ‎7x ו- ‎-\frac{5}{2}x כדי לקבל ‎\frac{9}{2}x.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x=1000$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$\frac{-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x}{-\frac{5}{2}}=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

חילוק ב- ‎-\frac{5}{2} מבטל את ההכפלה ב- ‎-\frac{5}{2}.

$$x^{2}+\frac{\frac{9}{2}}{-\frac{5}{2}}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

חלק את ‎\frac{9}{2} ב- ‎-\frac{5}{2} על-ידי הכפלת ‎\frac{9}{2} בהופכי של ‎-\frac{5}{2}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

חלק את ‎1000 ב- ‎-\frac{5}{2} על-ידי הכפלת ‎1000 בהופכי של ‎-\frac{5}{2}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-400$$

חלק את ‎-\frac{9}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{9}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{9}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{9}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-400+\frac{81}{100}$$

הוסף את ‎-400 ל- ‎\frac{81}{100}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{39919}{100}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{39919}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39919}{100}}$$

פשט.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{39919}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{39919}i}{10}$$

הוסף ‎\frac{9}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10} x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$