פתור את 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

פרק לגורמים

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 77r^{2}+ar+br-18. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 45.

$$a=-21 b=66$$

שכתב את ‎77r^{2}+45r-18 כ- ‎\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 7r בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 11r-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

‎45 בריבוע.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

הכפל את ‎-308 ב- ‎-18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

הוסף את ‎2025 ל- ‎5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

הוצא את השורש הריבועי של 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{-45±87}{154} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-45 ל- ‎87.

$$r=\frac{42}{154}$$

צמצם את השבר ‎\frac{42}{154} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{-45±87}{154} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎87 מ- ‎-45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-132}{154} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{11} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{6}{7} במקום x_{2}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

החסר את r מ- \frac{3}{11} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

הוסף את ‎\frac{6}{7} ל- ‎r על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

הכפל את ‎\frac{11r-3}{11} ב- ‎\frac{7r+6}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

הכפל את ‎11 ב- ‎7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎77 ב- ‎77 ו- ‎77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

הערך

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$