פתור את 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 15x^{2}+ax+bx-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-3 b=10$$

שכתב את ‎15x^{2}+7x-2 כ- ‎\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 5x-1=0 ו- 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 75 במקום a, ב- 35 במקום b, וב- -10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

‎35 בריבוע.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

הכפל את ‎-300 ב- ‎-10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

הוסף את ‎1225 ל- ‎3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-35±65}{150} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-35 ל- ‎65.

$$x=\frac{30}{150}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{150} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-35±65}{150} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎65 מ- ‎-35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-100}{150} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

החסרת -10 מעצמו נותנת 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

החסר ‎-10 מ- ‎0.

$$75x^{2}+35x=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

חילוק ב- ‎75 מבטל את ההכפלה ב- ‎75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

צמצם את השבר ‎\frac{35}{75} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{75} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

חלק את ‎\frac{7}{15}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{30}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{30} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{30} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

הוסף את ‎\frac{2}{15} ל- ‎\frac{49}{900} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

פרק את ‎x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

החסר ‎\frac{7}{30} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$